Question

18．已知數(shù)列{a_n}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₂=9，a₄=81．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若b_n=log₃a_n，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）知${a_n}={3^n}$，b_n=n，只要證明b_n+1-b_n=（常數(shù)）即可得出．

解答 （1）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₂=9，a₄=81．
則${q^2}=\frac{a_4}{a_2}=\frac{81}{9}=9$，
又∵a_n＞0，∴q＞0，∴q=3，
故通項公式${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=9×{3^{n-2}}={3^n}，\;\;n∈{N^*}$．
（2）證明：由（1）知${a_n}={3^n}$，∴${b_n}={log_3}{a_n}={log_3}{3^n}=n$，
∴b_n+1-b_n=（n+1）-n=1（常數(shù)），n∈N^*，
故數(shù)列{b_n}是一個公差等于1的等差數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其定義、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．