Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=3Sn(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=log₄a_n，求b₁+b₂+…+b_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1，推出a_n+2-a_n+1=3a_n+1，說(shuō)明數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出b_n=log₄a_n，通過(guò)b₁+b₂+…+b_n分組求和，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ） 由a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1，相減得 a_n+2-a_n+1=3a_n+1，
∴

an+2

an+1

=4（n∈N^*），
∴數(shù)列a₂，a₃，a₄，…，a_n，…是以4為公比的等比數(shù)列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
∴an=

1 ，       n=1 3×4n-2  ，n≥2 ，n∈N

…（5分）
（2）bn=

0，(n=1) log43+(n-2)，(n≥2)

∴n=1，b1=

(1-1)2

2

=0，
n≥2，b_n=log₄3+（n-2），
b₁+b₂+…+b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）+…+（log₄3+（n-2））
=（n-1）

log

3 4

+

(n-2)(n-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和的基本方法，注意數(shù)列的判定方法，n=1的驗(yàn)證，容易疏忽，易錯(cuò)點(diǎn)．