Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為

x= 3 +3cosθ y=1+3sinθ

，（θ為參數(shù)），以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為pcos(θ+

π

6

)=0．
（1）寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和圓C的普通方程；
（2）求圓C截直線l所得的弦長．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系消去參數(shù)θ即可得到圓C的普通方程，再利用三角函數(shù)的和角公式展開直線l的極坐標(biāo)方程的左式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）先在直角坐標(biāo)系中算出圓心到直線l的距離d，再利用圓心距、半徑、d之間的關(guān)系求出圓C截直線l所得的弦長即可．

解答：解：（1）消去參數(shù)θ，得圓C的普通方程為(x-

3

)2+(y-1)2=9．（2分）
由ρcos(θ+

π

6

)=0，得

3

2

ρcosθ-

1

2

ρsinθ=0，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為

3

x-y=0．（5分）
（2）圓心(

3

，1)到直線l的距離為d=

| 3 × 3 -1|

( 3 )2+12

=1．（7分）
設(shè)圓C直線l所得弦長為m，則

m

2

=

r2-d2

=

9-1

=2

2

，∴m=4

2

．（10分）

點評：本題考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．