如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關于點對稱．

（Ⅰ）若點的坐標為，求的值；

（Ⅱ）若橢圓上存在點，使得，求的取值范圍．

 

 

【答案】

(I) ；(II) .

【解析】

試題分析：(I)利用中點坐標公式，求M坐標，代入橢圓方程即可求m；（II）設，表示出P坐標，再利用垂直條件寫關系式，求的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）解：依題意，是線段的中點，

因為，，

所以 點的坐標為．2分

由點在橢圓上，   

所以 ，                                             4分

解得 ．                                                    5分

（Ⅱ）解：設，則 ，且．                   ①        6分

因為 是線段的中點，

所以 ．                                            7分

因為 ，

所以 ．             ②                            8分

由 ①，② 消去，整理得 ．                        10分

所以 ，                     12分

當且僅當 時，上式等號成立．                        

所以 的取值范圍是．                                13分

考點：1.中點坐標公式;2.基本不等式，分離常數(shù);3.轉化思想.

 

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（Ⅰ）若點P的坐標為，求m的值；
（Ⅱ）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求m的取值范圍．

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