Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，PD=8，AC=6，BD=8，AC∩BD=O，E是棱PB上的一點．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）若BE：EP=1：2，求三棱錐O-BCE的體積；
（3）是否存在點E，使△ACE的面積最小？若存在，試求出△ACE面積最小值及對應線段BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）
∵四邊形ABCD為菱形
∴AC⊥BD結合PD與DB相交
∴AC⊥平面PDB
∵DE?平面PDB
∴AC⊥DE…4′
（2）即求三棱錐E-OBC的體積，
由BE：EP=1：2及PD=8，
得：E到平面ABCD的距離為
又四邊形ABCD為菱形，AC=6，BD=8，
∴S_△OBC=S_菱形ABCD=×6×8=6
∴…10′
（3）連接OE，由（1）得AC⊥平面PDB，而OE?平面PDB
∴OE⊥AC，OE是三角形ACE的邊AC上的高
∴S_△ACE=AC•OE=3OE，當OE最短時，△ACE的面積最小，
因為點E在線段PB上運動，所以當OE⊥PB時，△ACE的面積最小，
此時Rt△OEB是以OB為斜邊的等腰直角三角形，
∴OE==，
所以存在點E使△ACE的面積最小，且△ACE面積最小值為，此時BE的長為…14′
分析：（1）菱形的對角線AC、BD互相垂直，用線面垂直的定義得到AC、PD互相垂直，結合線面垂直的判定定理，得到AC與平面PBD垂直，最終得到AC與DE互相垂直．
（2）根據(jù)點E是線段PB靠近B點的一個三等分點，得到E到平面ABCD的距離等于PD長的，再用菱形的性質得到S_△OBC=S_菱形ABCD=6，最后用棱錐的體積公式得出三棱錐O-BCE的體積．
（3）連接OE，可以根據(jù)AC與平面PBD垂直，得到OE就是三角形AEC的邊AC上的高，OE最短時△ACE的面積也達到最小值，轉化為點O到線段PB的最小距離問題．由此得到當OE⊥PB時，△ACE的面積最小，再利用等腰直角三角形OEB求出此時的OE長，問題得到解決．
點評：本題綜合了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的性質和棱柱、棱錐、棱臺的體積等幾個知識點，屬于中檔題．在題中出現(xiàn)了探究性問題，請同學們留意在解題過程中“空間問題平面化的思路”，是立體幾何常用的數(shù)學思想．