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20.已知函數(shù)f(x)=|ax2-1|+x,a∈R.
(Ⅰ)若a=2,且關(guān)于x的不等式f(x)-m≤0在R上有解,求m的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,2]上不單調(diào),求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由已知將函數(shù)解析式去絕對(duì)值,根據(jù)函數(shù)的圖象及其單調(diào)性可求函數(shù)的最小值,由題意可求m的最小值.
(Ⅱ)分類討論a=0,a<0,a>0三種情況,分別求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,求出單調(diào)區(qū)間,從而可求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,2]上不單調(diào)需滿足的條件,進(jìn)而可求a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),fx=|2x21|+x={2x2+x1|x|222x2+x+1|x|22.,…1 分
結(jié)合圖象可知,
函數(shù)在221422上單調(diào)遞減,在221422+上單調(diào)遞增,fxmin=f22=22,…3 分
由已知得,m≥f(x)有解,只要m≥f(x)min,
所以:m22,
即:m的最小值為22…5 分
(Ⅱ)(1)若a=0,則f(x)=x+1在[-3,2]上單調(diào)遞增,不滿足條件;…(6分)
(2)若a<0,則ax2-1<0,
所以:fx=ax2+1+x=ax12a2+1+14a,
12a上遞減,在12a+上遞增,
故f(x)在[-3,2]上不單調(diào)等價(jià)于:{a012a3解得a16;…(8分)
(3)若a>0,則fx={ax2+x1x1ax1aax2+x+11ax1a,…(9分)
結(jié)合圖象,有以下三種情況:
①當(dāng)12a1a,即0a14時(shí),
函數(shù)f(x)在[12a+上單調(diào)遞增,在12a]上單調(diào)遞減,
f(x)在[-3,2]上不單調(diào)等價(jià)于{0a1412a3,解得 16a14;…11 分
②當(dāng)12a1a,即a14時(shí),
函數(shù)在1a12a1a上單調(diào)遞減,在1a12a1a+上單調(diào)遞增,
由于31a2恒成立,
所以f(x)在區(qū)間[-3,2]上不單調(diào)成立,即a14符合題意;…13 分
③當(dāng)a=14時(shí),
f(x)在(-∞,-2)上遞減,在(-2,+∞)上遞增,
因此在[-3,2]上不單調(diào),符合題意…14 分
綜上所述,a16a16…15 分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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