Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（2，1），B（-1，1），若點(diǎn)P滿足，其中α，β∈R且2α²+β²=．
1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程.2）設(shè)D（0，2），過D的直線L與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M點(diǎn)在D，N之間，設(shè)，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：1）設(shè)P（x，y），由條件，得，代入2α²+β²=．
可得，此即為點(diǎn)P的軌跡C的方程
2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+2，代入橢圓方程得：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
因?yàn)橹本�L與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，
所以△＞0，解得
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由維達(dá)定理可得x₁+x₂=，x₁x₂=
由可得x₁=λx₂代入上式可得

因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/116818.png' />，所以，解得且λ≠1
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，
又因?yàn)镸點(diǎn)在D，N之間，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范圍是
分析：1）設(shè)P（x，y），由條件，x、y可由α和β表達(dá)，反解出α和β代入2α²+β²=．可得x和y的關(guān)系式，此即為點(diǎn)P的軌跡C的方程
2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由可得x₁=λx₂，
設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立、消元、維達(dá)定理，
點(diǎn)評(píng)：本題考查相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程、直線與橢圓的位置關(guān)系問題、求參數(shù)的范圍問題．考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．
注意向量在題目條件中的作用，提供點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系．