Question

研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)的性質(zhì)，分別給出下面結(jié)論（　　）
①若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）=-f（x₂）；
②函數(shù)f（x）在定義域上是減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，
其中正確的結(jié)論有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：分析：根據(jù)題意，以此分析命題：①可由函數(shù)的奇偶性證得；②可結(jié)合①結(jié)論，先證x≥0時，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)性；③與②的判斷方法一樣，先求x≥0時，函數(shù)的值域，進(jìn)而結(jié)合奇偶性得到函數(shù)在整個定義域上的值域；④由其形式知，此是一個與自然數(shù)有關(guān)的命題，故采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，即可得答案．

解答：解：若x₁=-x₂，則一定有f（x₁）=

-x2

1+|-x2|

=-

-x2

1+|x2|

=-f（x₂），故①正確；
當(dāng)x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

為增函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同，可得②錯誤；
由②得當(dāng)x≥0時，f（x）的值域?yàn)閇0，1），結(jié)合奇函數(shù)在對稱區(qū)間上，值域?qū)ΨQ，可得③正確；
④當(dāng)n=1，f₁（x）=f(x)=

x

1+|x|

，f₂（x）=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

，
假設(shè)n=k時，f_k（x）=

x

1+k|x|

成立，
則n=k+1時，f_k+1（x）=

x 1+k|x|

1+| x 1+k|x| |

=

x

1+(k+1)|x|

成立，
由數(shù)學(xué)歸納法知，④正確．
故選C

點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，函數(shù)的定義域，單調(diào)性，奇偶性，值域，考查全面，方法靈活，這四個問題在研究時往往是同時考慮的．