18.在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)傾斜角為α的直線l:$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$(t為參數(shù))與曲線C:$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$(φ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)若α=$\frac{π}{3}$,求直線AB的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$,點(diǎn)P(2,$\sqrt{3}$),求|PA|•|PB|的值.

分析 (1)求出直線l的普通方程,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出極坐標(biāo)方程;
(2)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程,代入曲線C的普通方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義計(jì)算.

解答 解:(1)$α=\frac{π}{3}$時(shí),直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),∴$\sqrt{3}$x-y=$\sqrt{3}$,即直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0.
∴直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ-$\sqrt{3}$=0.
(2)當(dāng)直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$時(shí),tanα=$\frac{\sqrt{5}}{4}$,∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}$,cosα=$\frac{4}{\sqrt{21}}$.
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{4}{\sqrt{21}}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),
曲線C的普通方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$,
把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得:$\frac{3}{7}{t}^{2}+\frac{4+2\sqrt{15}}{\sqrt{21}}t+3=0$.
∴t1t2=7.
∴|PA|•|PB|=|t1t2|=7.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用,屬于中檔題.

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