Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為α的直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）相交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若α=$\frac{π}{3}$，求直線AB的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$，點(diǎn)P（2，$\sqrt{3}$），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出極坐標(biāo)方程；
（2）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義計(jì)算．

解答 解：（1）$α=\frac{π}{3}$時(shí)，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），∴$\sqrt{3}$x-y=$\sqrt{3}$，即直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0．
∴直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{3}$ρcosθ-ρsinθ-$\sqrt{3}$=0．
（2）當(dāng)直線的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{4}$時(shí)，tanα=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}$，cosα=$\frac{4}{\sqrt{21}}$．
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{4}{\sqrt{21}}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{21}}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
曲線C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$得：$\frac{3}{7}{t}^{2}+\frac{4+2\sqrt{15}}{\sqrt{21}}t+3=0$．
∴t₁t₂=7．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬于中檔題．