Question

20．已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x（1-x），則f（x）的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 設(shè)x＜0、則-x＞0，根據(jù)題意和奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）=-f（-x），求出x＜0時函數(shù)的表達式，由奇函數(shù)的性質(zhì)求出f（0）=0，用分段函數(shù)形式表示出f（x）．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=x（1-x），
∴f（-x）=-x（1+x），
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=x（1+x），
由f（-0）=-f（0）得，f（0）=0，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＜0}\end{array}\right.$，
故答案為：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1+x），x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，注意函數(shù)的定義域是R，不用漏掉對x=0時的考慮．