【題目】如圖已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，沿對(duì)角線把正方形折成二面角.

（1）證明：四面體的外接球的體積為定值，并求出定值；

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意可知，四面體的外接球始終是以為直徑，即其半徑為2，點(diǎn)為球心的球，而與二面角大小無(wú)關(guān)，再由球的體積公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解；（2）由題意可考慮采用坐標(biāo)法，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出二面角兩個(gè)平面的法向量，再由向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算，從而問題可得解.

試題解析：（1）∵為定值，與二面角大小無(wú)關(guān)，

∴ 四面體的外接球是以為球心，2為半徑的球，所以外接球的體積為

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，∴，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，則，

∴，

又平面的法向量 為，∴，

∴二面角的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中， 是線段上一點(diǎn).

點(diǎn).

（1）確定的位置，使得平面平面；

（2）若平面,設(shè)二面角的大小為，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線，則下面結(jié)論正確的是 （ ）

A. 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍, 縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度, 得到曲線

B. 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍 ,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線

C. 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍 ,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線

D. 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當(dāng)為何值時(shí), 最小? 此時(shí)與的位置關(guān)系如何?

（2）當(dāng)為何值時(shí), 與的夾角最小? 此時(shí)與的位置關(guān)系如何?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】陜西省洛川地處北緯35°-36°，東經(jīng)109°，晝夜溫差，是國(guó)內(nèi)外專家公認(rèn)的世界最佳蘋果優(yōu)生區(qū)，是國(guó)家生態(tài)建設(shè)示范試點(diǎn).近幾年，果農(nóng)為了提高經(jīng)濟(jì)效益，增加了廣告和包裝的投資費(fèi)用，5年內(nèi)果農(nóng)投入的廣告和包裝費(fèi)用（萬(wàn)元）與銷售額（萬(wàn)元）之間有下面對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

2

4

5

6

8

30

40

60

50

70

（1）假設(shè)與之間線性相關(guān)，求回歸直線方程；

（2）預(yù)測(cè)廣告和包裝費(fèi)用為10（萬(wàn)元）時(shí)銷售額是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線的方程為.

（1）求的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若圓經(jīng)過不同三點(diǎn)，且斜率為的直線與圓相切與點(diǎn)，求圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，圓

（I）在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同的長(zhǎng)度單位，求圓的直角坐標(biāo)方程；

（II）求點(diǎn)到圓圓心的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線：與直線（）交于，兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；

（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐中，四邊形是直角梯形， 底面， 為的中點(diǎn)， 點(diǎn)在上，且.

(1)證明： 平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

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