Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+bx+1．
（1）當b=2a時，求函數(shù)f（x）的極值？
（2）已知b＞0，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，試用b表示出a的取值范圍．

Answer 1

（1）當b=2a時，f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+2)x2+2ax+1，
所以f'（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-2）（x-a）．令f'（x）=0，得x=2，或x=a．
①若a＜2，則當x∈（-∞，a）時，f'（x）＞0；當x∈（a，2）時，f'（x）＜0；當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．此時當x=a時，f（x）有極大值f(a)=-

1

6

a3+a2+1；當x=2時，f（x）有極小值f(2)=2a-

1

3

．
②若a=2，則f'（x）=（x-2）²≥0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，此時f（x）無極值．
③若a＞2，則當x∈（-∞，2）時，f'（x）＞0；當x∈（2，a）時，f'（x）＜0；當x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，在（2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．此時當x=2時，f（x）有極大值f(2)=2a-

1

3

；當x=a時，f（x）有極小值f(a)=-

1

6

a3+a2+1．
（2）因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0對x∈（0，2]恒成立，
即a≤x+

b

x

-2對x∈（0，2]恒成立，所以a≤(x+

b

x

-2)min，x∈(0，2]．
設(shè)g(x)=x+

b

x

-2，x∈(0，2]，則g′(x)=1-

b

x2

=

(x+ b )(x- b )

x2

（b＞0），
①若0＜

b

＜2，即0＜b＜4，則當x∈(0，

b

)時，g'（x）＜0；當x∈(

b

，2]時，f'（x）＞0．
所以g（x）在(0，

b

)上單調(diào)遞減，在(

b

，2]上單調(diào)遞增．
所以當x=

b

時，g（x）有最小值g(

b

)=2

b

-2，所以當0＜b＜4時，a≤2

b

-2．
②若

b

≥2，即b≥4，則當x∈（0，2]時，g'（x）≤0，所以g（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，
所以當x=2時，g（x）有最小值g(2)=

b

2

，所以當b≥4時，a≤

b

2

．
綜上所述，當0＜b＜4時，a≤2

b

-2；當b≥4時，a≤

b

2

．