已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，橢圓C上一點(diǎn)到點(diǎn)Q（1，0）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABO的面積為
3
，M為AB中點(diǎn)，判斷|AB|2+4|OM|2是否為定值，并求|OA|+|OB|的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由離心率e=
1
2
=
c
a
，可設(shè)a=2c，b=
3
c，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為
x2
4c2
+
y2
3c2
=1，因此可設(shè)橢圓上的一點(diǎn)P(2ccosθ，
3
csinθ)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
與橢圓的方程聯(lián)立化為（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)也滿足．由中線長定理可得|OA|2+|OB|2=
1
2
(|AB|2+4|OM|2)=7為定值．再利用基本不等式的性質(zhì)（|OA|+|OB|）2≤2（|OA|2+|OB|2）即可得出．
解答： 解：（1）∵離心率e=
1
2
=
c
a
，
∴可設(shè)a=2c，b=
3
c，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為
x2
4c2
+
y2
3c2
=1，
設(shè)橢圓上的一點(diǎn)P(2ccosθ，
3
csinθ)，
則|PQ|=
(2ccosθ-1)2+(
3
csinθ)2
=
c2(cosθ-
2
c
)2+3c2-3
，
當(dāng)0＜c≤2時(shí)，當(dāng)cosθ=-1時(shí)，|PQ|取得最大值2c+1，2c+1=3，解得c=1，滿足條件．
當(dāng)c＞2時(shí)，cosθ=
2
c
時(shí)，|PQ|取得最大值
3c2-3
，∴
3c2-3
=3，解得c=2．
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1或
x2
16
+
y2
12
=1．
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．
聯(lián)立
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
，化為（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
△＞0，x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
．
∴|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[
64k2m2
(3+4k2)2
-
4(4m2-12)
3+4k2
]

=
4
(1+k2)(9+12k2-3m2)
3+4k2
．
原點(diǎn)O到直線AB的距離h=
|m|
1+k2
．
∵△ABO的面積為
3
，
∴
1
2
•
|m|
1+k2
•
4
(1+k2)(9+12k2-3m2)
3+4k2
=
3
．
化為2m2=3+4k2．
∵x0=
x1+x2
2
=
-4km
3+4k2
，y0=kx0+m=
3m
3+4k2
．
∴4|OM|2=
4(16k2m2+9m2)
(3+4k2)2
．
∴|AB|2+4|OM|2=
16(1+k2)(9+12k2-3m2)
(3+4k2)2
+
4(16k2m2+9m2)
(3+4k2)2
=14為定值．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)也滿足定值為14．
由中線長定理可得|OA|2+|OB|2=
1
2
(|AB|2+4|OM|2)=7為定值．
∴（|OA|+|OB|）2≤2（|OA|2+|OB|2）=14．
∴|OA|+|OB|的最大值為
14
．
點(diǎn)評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、兩點(diǎn)之間的距離公式、中線長定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題．
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函數(shù)y=lg
x-2
x+2
的圖象（　�。�
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B、關(guān)于原點(diǎn)對稱
C、關(guān)于直線y=x對稱
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2
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．

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RD
|=|
SD
|，求m的取值范圍．

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C、
3
12
a3
D、
2
12
a3

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．

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，S19=
 
．

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