Question

如圖：在空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABE⊥平面BCD；
（2）若F是AB的中點(diǎn)，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的長．

Answer 1

解：（1）證明：因?yàn)锳C=AD，BC=BD，且E是CD的中點(diǎn)，
所以BE⊥CD，且AE⊥CD，又AE∩BE=E，
所以CD⊥平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCD（5分）
（2）因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以CE=ED，由（1）知BE⊥CD，
且AE⊥CD，所以BC²=BE²+CE²=BE²+ED²，AD²=AE²+ED²，
因?yàn)锽C=AD，所以AE=BE（10分）
又因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)，所以AF=FB=4，且EF⊥AB，
所以EF==（12分）
分析：對于（1），根據(jù)條件，只需證明平面BCD有一條直線垂直于平面ABE，而等腰三角形ACD、BCD有共同底邊CD，E為中點(diǎn)，因此容易證明CD與平面ABE垂直，從而問題得到解決；
對于（2）由BC=AD，可以判定三角形ABE為等腰三角形，由AB=8，AE=10，根據(jù)勾股定理可以解決EF的長度問題．
點(diǎn)評：本題主要考查面面垂直的判定，其思路是：將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，在一個(gè)平面內(nèi)尋找另一個(gè)平面的垂線，這種降維轉(zhuǎn)化的思想在解決線面關(guān)系、面面關(guān)系時(shí)非常重要．