Question

15．設(shè)函數(shù)y=f （x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．
（1）求f （0）的值；
（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；
（3）在（2）的條件下，猜想f （n）（n∈N^*）的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值法判斷即可；
（2）根據(jù)條件，逐步代入求解；
（3）猜想結(jié)論，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．…（2分）
（2）由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16．…（5分）
（3）由（2）可猜想f（n）=n²，…（7分）
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（i）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1²=1顯然成立．…（8分）
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即f（k）=k²，…（10分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k²+1+2k=（k+1）²，
故當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，…（12分）
由（i），（ii）可得，對(duì)一切n∈N^*都有f（n）=n²成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 考查了特殊法解決抽象函數(shù)問(wèn)題和數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．