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如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD,ACBD，垂足為H，PH是

四棱錐的高 ，E為AD中點；（Ⅰ）證明：PEBC；

（Ⅱ）若APB=ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值。

 

【答案】

（1）略  （2）

【解析】求解和證明立體幾何問題一方面可以直接利用幾何方法，通過證明或找到線面之間的關系，依據判定定理或性質進行證明求解.

以為原點， 分別為軸，線段的長為單位長， 建立空間直角坐標系如圖， 則

（Ⅰ）設

則 

可得 

因為 所以  ……………………5分

（Ⅱ）由已知條件可得

設 為平面的法向量

則           即因此可以取，

由，可得 

所以直線與平面所成角的正弦值為…………………12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖：已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，
求證：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．點E是BC邊上的中點．
（1）求證：AD⊥面PDE；
（2）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=
8
3
3
；①求VP-ABED； ②求二面角P-AB-C大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•崇明縣二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是BC，PC的中點，AB=2，AP=2．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AF-C的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•吉林二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，點M，N分別在PD，PC上，
PN
=
1
2
NC
，PM=MD．
（Ⅰ） 求證：PC⊥面AMN；
（Ⅱ）求二面角B-AN-M的余弦值．

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