Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x²-x）
（1）若a=-1，求證f（x）有且僅有一個零點；
（2）若對于x∈[1，2]，函數(shù)f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角都不大于，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：f（x）=lnx-x²+x（x＞0），
令f'（x）=0，得x=1，
令f'（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；令f'（x）＜0，
∵x＞0，∴x＞1，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）_最大值=f（1）=0，
∴f（x）有且僅有一個零點，該零點即為1．---------（4分）
（2）解：，由已知，0≤f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立．---------（6分）
由f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立，可得
由f'（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，可得
∴-------------------（10分）
（3）解：f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，等價于在（0，+∞）上有解，即2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解
記g（x）=2ax²-ax+1，x∈（0，+∞）
當a=0時，g（x）=1，不滿足條件；
當a＜0時，g（x）為開口向下的二次函數(shù)，2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上恒有解；
當a＞0時，g（x）為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解，只需g（x）_min＞0，即，解得a＞8
綜上所述，a的取值范圍為（-∞，0）∪（8，+∞）
分析：（1）求導函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可得證結論；
（2）由已知，0≤f'（x）≤1在x∈[1，2]上恒成立，分離參數(shù)求最值，可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，等價于在（0，+∞）上有解，即2ax²-ax+1＜0在（0，+∞）上有解，分類討論求最值，即可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．