Question

對于數列{x_n}，如果存在一個正整數m，使得對任意的n（n∈N^*）都有x_n+m=x_n成立，那么就把這樣一類數列{x_n}稱作周期為m的周期數列，m的最小值稱作數列{x_n}的最小正周期，以下簡稱周期．例如當x_n=2時{x_n}是周期為1的周期數列，當yn=sin(

π

2

n)時{y_n}是周期為4的周期數列．
（1）設數列{a_n}的前n項和為S_n，且4S_n=（a_n+1）²．
①若a_n＞0，試判斷數列{a_n}是否為周期數列，并說明理由；
②若a_na_n+1＜0，試判斷數列{a_n}是否為周期數列，并說明理由；
（2）設數列{a_n}滿足a_n+2=a_n+1-a_n+1（n∈N^*），a₁=2，a₂=3，數列{a_n}的前n項和為S_n，試問是否存在實數p，q，使對任意的n∈N^*都有p≤（-1）ⁿ

Sn

n

≤q成立，若存在，求出p，q的取值范圍；不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）①由已知得a₁=1，a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．由a_n＞0，得a_n-a_n-1=2（n≥2），{a_n}不是周期數列．
②由a_na_n+1＜0，得a_n=-a_n-1（n≥2），數列{a_n}為等比數列，存在m=2使得a_n+2=a_n對任意n∈N^*都成立，{a_n}是周期為2的周期數列．
（2）假設存在p，q，滿足題設，則{a_n}是周期為6的周期數列，由此能求出存在p，q，滿足題設，p≤-

7

3

，q≥

5

2

．

解答： 解：（1）當n=1時，S₁=a₁，又4 S1=( a1+1 )2得a₁=1．
當n≥2時，4an=4Sn-4Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2⇒(an-1)2=(an-1+1)2，
即a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（n≥2）．
①由a_n＞0有a_n-a_n-1=2（n≥2），則{a_n}為等差數列，即a_n=2n-1，
由于對任意的n都有a_n+m≠a_n，所以{a_n}不是周期數列．
②由a_na_n+1＜0有a_n=-a_n-1（n≥2），數列{a_n}為等比數列，即an=(-1)n-1，
存在m=2使得a_n+2=a_n對任意n∈N^*都成立，
即當a_na_n+1＜0時{a_n}是周期為2的周期數列．
（2）假設存在p，q，滿足題設．
于是

an+2=an+1-an+1 an+3=an+2-an+1+1

⇒a_n+3+a_n=2又a_n+6+a_n+3=2即a_n+6=a_n，
所以{a_n}是周期為6的周期數列，{a_n}的前6項分別為2，3，2，0，-1，0，
則Sn=

n (n=6k) n+1  (n=1或6k±1) n+3  (n=2或6k±2) n+4  (n=6k-3)

（k∈N^*），
當n=6k時，(-1)n

Sn

n

=1，
當n=2或6k±2時，(-1)n

Sn

n

=1+

3

n

⇒1＜(-1)n

Sn

n

≤

5

2

，
當n=1或6k±1時，(-1)n

Sn

n

=-1-

1

n

⇒-2≤(-1)n

Sn

n

＜-1，
當n=6k-3時，(-1)n

Sn

n

=-1-

4

n

⇒-

7

3

≤(-1)n

Sn

n

＜-1，
所以-

7

3

≤(-1)n

Sn

n

≤

5

2

，
為使p≤(-1)n

Sn

n

≤q恒成立，只要p≤-

7

3

，q≥

5

2

即可，
綜上，存在p，q，滿足題設，p≤-

7

3

，q≥

5

2

．

點評：本題考查周期數列的判斷，考查存在實數p，q，使對任意的n∈N^*都有p≤（-1）ⁿ

Sn

n

≤q成立的判斷與求法，解題時要注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．