Question

16．若角α是銳角，則sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$的最小值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由角α是銳角，可得：α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），進而$sin（α+\frac{π}{4}）$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，結合對勾函數(shù)的圖象和性質，可得sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$的最小值．

解答 解：∵角α是銳角，
∴α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$sin（α+\frac{π}{4}）$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
令t=$sin（α+\frac{π}{4}）$，t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
則sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{2}$（t+$\frac{2}{t}$），
∵y=t+$\frac{2}{t}$在（0，$\sqrt{2}$]上為減函數(shù)，
故當t=1，即$sin（α+\frac{π}{4}）$=1時，sinα+cosα+$\frac{2\sqrt{2}}{sin（α+\frac{π}{4}）}$的最小值是3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其幾何意義，對勾函數(shù)的圖象和性質，三角函數(shù)的圖象和性質，難度中檔．