Question

（2012•保定一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，且過點Q（1，

2

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)P點在直線x+y-1=0上，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

 （O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)t的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由e=

2

2

，設(shè)橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，由Q(1，

2

2

)在橢圓

x2

2c2

+

y2

c2

=1上，能求出橢圓方程．
（2）設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，知k∈[-

2

2

，

2

2

]，由此入手能夠求出實數(shù)t的最小值．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，
∵e=

2

2

，∴a²=2c²，b²=c²，
設(shè)橢圓方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
∵Q(1，

2

2

)在橢圓

x2

2c2

+

y2

c2

=1上，
∴

1

2c2

+

1 2

c2

=1，解得c²=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由題意知直線AB的斜率存在，
設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
k2≤

1

2

，
即k∈[-

2

2

，

2

2

]，
x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

，
∵

OA

+

OB

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
當(dāng)k=0時，t=0；
當(dāng)t≠0時，
x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，
y=

y1+y2

t

=

1

t

[k(x1+x2)-4k]=

-4k

t(1+2k2)

，
∵點P在直線x+y-1=0上，
∴

8k2

t(1+2k2)

-

4k

t(1+2k2)

-1=0，
∴t=

8k2-4k

1+2k2

=4-

4(k+1)

1+2k2

．
∵k∈[-

2

2

，

2

2

]，
∴令h=

k+1

1+2k2

=

k+1

2(k+1)2-4(k+1)+3

=

1

2(k+1)+ 3 k+1 -4

≤

1

2 6 -4

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=

6

2

-1時取等號．
故實數(shù)t的最小值為4-4h=2-

6

．

點評：本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．