Question

9．已知f（x）=m•2^x+x²+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠∅，則m+n的取值范圍為[0，4）．

Answer 1

分析 由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得f（0）=0，從而求得m=0；從而化簡f（f（x））=（x²+nx）（x²+nx+n）=0，從而討論求得．

解答 解：設x₁∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}，
∴f（x₁）=f（f（x₁））=0，
∴f（0）=0，
即f（0）=m=0，
故m=0；
故f（x）=x²+nx，
f（f（x））=（x²+nx）（x²+nx+n）=0，
當n=0時，成立；
當n≠0時，0，-n不是x²+nx+n=0的根，
故△=n²-4n＜0，
故0＜n＜4；
綜上所述，0≤n+m＜4；
故答案是：[0，4）．

點評 本題考查了函數與集合的關系應用及分類討論的思想應用，同時考查了方程的根的判斷，屬于中檔題．