Question

 如圖所示，在邊長為的正方形中，點在線段上，且，，作，分別交，于點，，作，分別交，于點，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構成如圖所示的三棱柱．

（1）求證：平面；  （2）求四棱錐的體積；

（3）求平面與平面所成角的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）在正方形中，因為，

所以三棱柱的底面三角形的邊．

因為，，

所以，所以．

因為四邊形為正方形，，

所以，而，

所以平面．----------- 4分

（2）因為平面，所以為四棱錐的高．

因為四邊形為直角梯形，且，，

所以梯形的面積為．

所以四棱錐的體積．-----------8分

(3)由(1)(2)可知，，，兩兩互相垂直．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，，

設平面的一個法向量為．

則，即．

令，則．所以．

顯然平面的一個法向量為．

設平面與平面所成銳二面角為，

則．

所以平面與平面所成角的余弦值為． ------- 12分