分析 (Ⅰ)求出曲線C1的直角坐標方程為:x2+y2=1,C2:y=x+2,再求出圓心到直線距離,由此能求出曲線C1上的點到曲線C2距離的最小值.
(Ⅱ)伸縮變換為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=2x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$,從而曲線${C_1}^′$:$\frac{{{x}^{'}}^{2}}{4}+\frac{{{y}^{'}}^{2}}{3}$=1,${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$(t為參數(shù))代入曲線${C_1}^′$,得$7{t}^{2}+2\sqrt{2}t-10=0$.由此能求出|PA|+|PB|.
解答 解:(Ⅰ)∵曲線C1:ρ=1,∴曲線C1的直角坐標方程為:x2+y2=1,
∴圓心為(0,0),半徑為r=1,
${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$(t為參數(shù))消去參數(shù)t的C2:y=x+2,(2分)
∴圓心到直線距離d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,(3分)
∴曲線C1上的點到曲線C2距離的最小值為$\sqrt{2}-1$.(5分)
(Ⅱ)∵把C1上各點的橫坐標都擴大為原來的2倍,縱坐標擴大為原來的$\sqrt{3}$倍,得到曲線${C_1}^′$.
∴伸縮變換為$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=2x}\\{{y}^{'}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$,∴曲線${C_1}^′$:$\frac{{{x}^{'}}^{2}}{4}+\frac{{{y}^{'}}^{2}}{3}$=1,(7分)
${C_2}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+1\end{array}\right.$(t為參數(shù))代入曲線${C_1}^′$,整理得$7{t}^{2}+2\sqrt{2}t-10=0$.
∵t1t2<0,(8分)
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$.(10分)
點評 本題考查曲線上的點到直線的距離的最小值的求法,考查兩線段和的求法,考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 函數(shù)$f(x)=sin\sqrt{x}$不是周期函數(shù). | |
B. | 函數(shù)$f(x)=sin\frac{1}{x}$不是周期函數(shù). | |
C. | 函數(shù)f(x)=sin|x|不是周期函數(shù). | |
D. | 函數(shù)f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期為π. |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{3}{5}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{5}{9}$ |
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