Question

11．設F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁：$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{{{a_2}^2}}-\frac{y^2}{{{b_2}^2}}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$的公共焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點M，∠F₁MF₂=90°，若橢圓的離心率${e_1}=\frac{3}{4}$，則雙曲線C₂的離心率e₂的值為（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，設|F₁M|=m，|F₂M|=n，m+n=2a₁，m-n=2a₂，m²+n²=4c²，化簡即可得出．

解答 解：如圖所示，
設|F₁M|=m，|F₂M|=n，
則m+n=2a₁，m-n=2a₂，m²+n²=4c²，
可得：${a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}$=2c²，
可得$\frac{1}{{e}_{1}^{2}}+\frac{1}{{e}_{2}^{2}}$=2，${e_1}=\frac{3}{4}$，
解得e₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．