Question

4．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，傾斜角為45°的直線l交橢圓于C、D兩點，B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{1}{5}$）為線段CD的中點，O為坐標原點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設動點Q在橢圓E上，點R（-1，0），若直線QR的斜率大于1，求直線OQ的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將P的坐標代入橢圓方程，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），代入橢圓方程運用作差法，結合直線的斜率公式，解方程可得a=2，b=1，即可得到所求橢圓方程；
（2）設Q（m，n），代入橢圓方程，由直線的斜率公式，解得m的范圍，再由直線OQ的斜率，結合不等式的性質可得所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，①
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
作差可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$，
由題意可得x₁+x₂=$\frac{8}{5}$，y₁+y₂=-$\frac{2}{5}$，
即有直線CD的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$=1，②
由①②解得a=2，b=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設Q（m，n），且$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
由題意可得k_QR=$\frac{n}{m+1}$＞1，
即有-$\frac{8}{5}$＜m＜0，
當m=-$\frac{8}{5}$時，n=±$\frac{3}{5}$，
此時QR的斜率小于-1，
當QR垂直于x軸時，由m=-1時，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有Q（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），直線OQ的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得直線OQ的斜率的取值范圍為（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點差法和直線的斜率公式，考查直線的斜率的范圍，注意運用點滿足橢圓方程，以及直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．