Question

【題目】已知函數(shù)，在處取極大值，在處取極小值.

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)在方程的解中，較大的一個(gè)記為；在方程的解中，較小的一個(gè)記為，證明：為定值；

(3)證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；3個(gè)零點(diǎn)（2）-1(3)見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)即可得到單調(diào)區(qū)間，再利用零點(diǎn)存在定理判定零點(diǎn)即可；

（2）因?yàn)?/span>，可知. 因?yàn)?/span>，即，可知，同理，得到，即可證明；

（3）要證，即要證.

設(shè)，求導(dǎo)，通過(guò)單調(diào)性可知，再設(shè)，求導(dǎo)，通過(guò)單調(diào)性可知，，

因?yàn)?/span>，所以，，且和分別在和2.處取最大值和最小值，因此恒成立，即當(dāng)時(shí)，.

解析：解(1)當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，；

即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；

又，，，，所以有3個(gè)零點(diǎn).

(2)因?yàn)?/span>，則，

可知.

因?yàn)?/span>，即，

即

.

可知，

同理，由可知

；

得到；

.

(3)要證，即要證.

設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

可知；

再設(shè)，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

可知，.

因?yàn)?/span>，所以，，且和分別在和2處取最大值和最小值，因此恒成立，即當(dāng)時(shí)，.

(3)另證：一方面，易證；（略）

另一方面，當(dāng) 時(shí)，；

又；

所以，，

且不存在正數(shù)，使得其中等號(hào)同時(shí)成立，故.