Question

5．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）部分圖象如圖所示：
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{2}$]使得f（x）+4cos²x+m=0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得-m的范圍，可得m的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）部分圖象，可得A=2，
$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）由題意可得，f（x）+4cos²x+m=0在[0，$\frac{π}{2}$]上有解，
即-m=f（x）+4cos²x=2sin2xcos$\frac{π}{6}$+2cos2xsin$\frac{π}{6}$+4cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2cos2x+2
=$\sqrt{3}$sin2x+3cos2x+2=2$\sqrt{3}$（sin2x•$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+2=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2 在[0，$\frac{π}{2}$]上有解．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2∈[-1，2$\sqrt{3}$+2]，
∴-m=f（x）+4cos²x∈[-1，2$\sqrt{3}$+2]，故 m∈[-2$\sqrt{3}$-2，1]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．