Question

17．已知圓C的圓心在直線x-2y=0上，且圓C經過點A（2，5）和B（1，4）．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點P（5，-1）且被圓C截得的弦長為4$\sqrt{3}$的直線l的方程；
（3）若M點是直線x+y+2=0上的動點，過點M作圓C的切線ME，MF，切點分別為E，F，若四邊形MECF的面積取得最小值，求此時的點M的坐標及切線ME的長度．

Answer 1

分析 （1）設圓心C（a，b），由已知列出方程組求出圓心C（4，2），半徑r=$\sqrt{13}$，由此能求出圓C的方程．
（2）當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=5；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-5）-1，求出圓心C（4，2）到直線l的距離d，由直線l被圓C截得的弦長為4$\sqrt{3}$，能求出直線l的方程．
（3）推導出四邊形MECF的面積為S=$\sqrt{13}$ME，當ME最小時，S最小，由勾股定理知只要求得MC的最小值即可，由此能求出結果．

解答 解：（1）設圓心C（a，b），
∵圓C的圓心在直線x-2y=0上，且圓C經過點A（2，5）和B（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2b=0}\\{\sqrt{（a-2）^{2}+（b-5）^{2}}=\sqrt{（a-1）^{2}+（b-4）^{2}}}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=2，
∴圓心C（4，2），半徑r=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-5）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴圓C的方程為（x-4）²+（y-2）²=13．
（2）當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=5，
把x=5代入圓C，得直線l與圓的交點為（5，2-2$\sqrt{3}$），（5，2+2$\sqrt{3}$），
此時直線l被圓C截得的弦長為4$\sqrt{3}$．    
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-5）-1，
圓心C（4，2）到直線l的距離d=$\frac{|4k-2-5k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|-k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直線l被圓C截得的弦長為4$\sqrt{3}$，
∴r²=d²+（$\frac{4\sqrt{3}}{2}$）²，即$13=\frac{{k}^{2}+6k+9}{{k}^{2}+1}+12$，
解得k=-$\frac{4}{3}$．
∴直線l的方程為y=-$\frac{4}{3}$（x-5）-1，即4x+3y-17=0．
∴直線l的方程為x=5或4x+3y-17=0．
（3）由圖象求得四邊形MECF的面積為S=2×$\frac{1}{2}$×ME×EC=$\sqrt{13}$ME，
當ME最小時，S最小，由勾股定理知只要求得MC的最小值即可，
經過C作直線x+y+2=0的垂線，垂足即為M點坐標．
此時直線MC⊥直線l，
∵k_l=-1，∴k_MC=1，∴直線MC的方程：y-2=x-4，即x-y-2=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得x=0，y=-2，∴M（0，-2），
∴|MC|=$\sqrt{（0-4）^{2}+（-2-2）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴|ME|=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{13}）^{2}}$=$\sqrt{19}$．
故當四邊形MECF的面積取得最小值時，點M的坐標為（0，-2），切線ME的長度為$\sqrt{19}$．

點評 本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，考查當四邊形MECF的面積取得最小值時，點M的坐標及切線ME的長度的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質及點到直線的距離公式的合理運用．