Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1上的一個點P（x，y），求u=2x+y的最值．

Answer 1

分析 利用橢圓方程，設(shè)出橢圓的參數(shù)方程，通過兩角和的三角函數(shù)求和表達(dá)式的最值即可．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的參數(shù)方程為：
$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，0≤θ≤2π）
∴u=2x+y=4cosθ+sinθ=$\sqrt{17}$（$\frac{4}{\sqrt{17}}cosθ+\frac{1}{\sqrt{17}}sinθ$）=$\sqrt{17}$sin（θ+φ），（其中tanφ=4）
∵-1≤sin（θ+φ）≤1
∴-$\sqrt{17}$≤$\sqrt{17}$sin（θ+φ）≤$\sqrt{17}$．
即u=2x+y的最大值是$\sqrt{17}$，最小值是-$\sqrt{17}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．