某青少年研究中心為了統(tǒng)計(jì)某市青少年(18歲以下)2014年春節(jié)所收壓歲錢的情況進(jìn)而研究青少年的消費(fèi)去向,隨機(jī)抽查了該市60名青少年所收壓歲錢的情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表:
壓歲錢(單位:千元)頻數(shù)頻率
(0,0.5]30.05
(0.5,1]xp
(1,1.5]90.15
(1.5,2]150.25
(2,2.5]180.30
(2.5,3]yq
合計(jì)601.00
已知“超過(guò)2千元的青少年”與“不超過(guò)2千元的青少年”人數(shù)比恰好為2:3.
(Ⅰ)試確定x,y,p,q的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖).
(Ⅱ)該機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步了解這60名青少年壓歲錢的消費(fèi)去向,從“超過(guò)2千元的青少年”、“不超過(guò)2千元的青少年”中用分層抽樣的方法確定10人,若需從這10人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查.設(shè)為選取的3人中“超過(guò)2千元的青少年”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(Ⅲ)若以頻率估計(jì)概率,從該市青少年中隨機(jī)抽取15人進(jìn)行座談,若15人中“超過(guò)2千元的青少年”的人數(shù)為η,求η的期望.
考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望與方差,分層抽樣方法
專題:概率與統(tǒng)計(jì)
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,有
3+x+9+15+18+y=60
18+y
3+x+9+15
=
2
3
,由此能確定x,y,p,q的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖.(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從中選取10人,其中“超過(guò)2千元的青少年”有4人,“不超過(guò)2千元的青少年”有6人,ξ的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能示出ξ的分布列和Eξ.
(Ⅲ)以頻率估計(jì)概率,從該市青少年中隨機(jī)抽取1人為“超過(guò)2千元的青少年”的概率為
2
5
,由η~B(15,
2
5
),能求出隨機(jī)變量η的期望.
解答: 解:(Ⅰ)根據(jù)題意,有:
3+x+9+15+18+y=60
18+y
3+x+9+15
=
2
3
,
解得x=9,y=6,
∴p=0.15,q=0.10.
補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅱ)用分層抽樣的方法,從中選取10人,
則其中“超過(guò)2千元的青少年”有10×
2
5
=4人,
“不超過(guò)2千元的青少年”有10×
3
5
=6人,
∴ξ的可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=
C
0
4
C
3
6
C
3
10
=
1
6

P(ξ=1)=
C
1
4
C
2
6
C
3
10
=
1
2
,
P(ξ=2)=
C
2
4
C
1
6
C
3
10
=
3
10
,
P(ξ=3)=
C
3
4
C
0
6
C
3
10
=
1
30
,
∴ξ的分布列為:
 ξ 0 1 2 3
 p 
1
6
 
1
2
 
3
10
 
1
30
Eξ=
1
6
+1×
1
2
+2×
3
10
+3×
1
30
=
6
5

(Ⅲ)以頻率估計(jì)概率,
從該市青少年中隨機(jī)抽取1人為“超過(guò)2千元的青少年”的概率為
2
5
,
則η~B(15,
2
5
),
∴隨機(jī)變量η的期望為Eη=15×
2
5
=6.
點(diǎn)評(píng):本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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復(fù)數(shù)
1+i
2-i
的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( 。
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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如圖1,AC⊥BC,AC⊥AD,AD=BC=2,AC=
3
,M是線段AD的中點(diǎn),連接MC,將△MCD沿MC折起,使得二面角D-MC-A為直二面角得到圖2.
(Ⅰ)求異面直線AB與DM所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角D-AB-M的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其離心率為
1
2
,經(jīng)過(guò)橢圓焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為3.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+m(|k|≤
1
2
)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足
OP
=
OA
+
OB
,求|
OP
|的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2|x+1|-x.
(Ⅰ)根據(jù)絕對(duì)值和分段函數(shù)知識(shí),將f(x)寫成分段函數(shù);
(Ⅱ)在如圖的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象:
(Ⅲ)根據(jù)圖象,寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間、值域.(不要求證明)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若拋物線y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,橢圓與軸的上半軸交于點(diǎn)B2,與軸的右半軸交于點(diǎn)A2,橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,且3|
F1B2
|cos∠B2F1F2=
3
|
OB2
|
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)D(0,2)的直線,斜率為k(k>0),與橢圓交于M,N兩點(diǎn).
(i)若M,N的中點(diǎn)為H,且存在非零實(shí)數(shù),使得
OH
A2B2
,求出斜率k的值;
(ii)在軸上是否存在點(diǎn)Q(m,0),使得以QM,QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形?若存在求出m的范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)離心率為
1
2
,短軸長(zhǎng)為2,直線l:y=x+m,
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)直線l與橢圓有公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若直線l過(guò)橢圓右焦點(diǎn),并與橢圓交于A、B兩點(diǎn),求弦AB之長(zhǎng).

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已知函數(shù)f(x)=ax2+xlnx(a∈R)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+3y=0垂直.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)求證:當(dāng)n>m>0時(shí),lnn-lnm>
m
n
-
n
m
;
(Ⅲ)若存在k∈Z,使得f(x)>k恒成立,求實(shí)數(shù)k的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(2cosx,
3
sinx),
b
=(cosx,2cosx),f(x)=
a
b
+1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0,
π
4
]時(shí),求函數(shù)y=f(x)的值域.

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