Question

數列{a_n}滿足a₁=8，a₄=2，且a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=

1

n(14-an)

，數列{b_n}的前n項和為T_n，若T_n＞

m

32

對一切n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）依題意知，2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），利用等差數列的性質可得數列{a_n}為等差數列，再求得其公差d=-2，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知a_n=10-2n，于是b_n=

1

n(14-an)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

），繼而可得數列{b_n}的前n項和為T_n=

1

4

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

），利用（T_n）_min＞

m

32

，可求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
∴2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），
∴數列{a_n}為等差數列，又a₁=8，a₄=2，
∴公差d=

a4-a1

4-1

=-2，
∴a_n=8+（n-1）×（-2）=10-2n；
（2）∵b_n=

1

n(14-an)

=

1

n(14-10+2n)

=

1

2n(n+2)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n═

1

4

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

4

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

），
∴當n=1時，（T_n）_min=

1

4

（1+

1

2

-

1

2

-

1

3

）=

1

6

．
∵T_n＞

m

32

對一切n∈N^*恒成立，
∴（T_n）_min＞

m

32

，即m＜32×

1

6

=

16

3

．
∴m的取值范圍為（-∞，

16

3

）．

點評：本題考查等差數列關系的確定及裂項法求和，求得（T_n）_min=

1

6

＞

m

32

是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想與恒成立問題，屬于中檔題．