Question

設

a

、

b

、

c

為非零向量，下列等恒成立的個數(shù)有（　�。�
①（

a

•

b

）•

c

=（

c

•

a

）•

b

；②[（

b

•

c

）•

a

-（

c

•

a

）•

b

]•

c

=0；
③

a

²-

b

²=（

a

+

b

）（

a

-

b

）；④

a

3+

b

3=（

a

+

b

）（

a

2-

a

•

b

+

b

2）．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：在（

a

•

b

）•

c

=（

c

•

a

）•

b

中，（

a

•

b

）與（

c

•

a

）是實數(shù)，而

b

，

c

方向可能不同，故①式不一定成立；由向量的數(shù)量積運算法則，可驗證②式成立，同理，也可驗證③④成立．

解答：解：（1）設（

a

•

b

）•

c

=λ

c

，（

c

•

a

）•

b

=λ'

b

（其中λ，λ'∈R），

b

，

c

方向可能不同，故①式不一定成立；
（2）∵[（

b

•

c

）•

a

-（

c

•

a

）•

b

]•

c

=（

b

•

c

）•（

a

•

c

）-（

c

•

a

）•（

b

•

c

）=0，∴②式恒成立；
（3）∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

a

•

b

+

b

•

a

-

b

2=

a

2-

b

2，∴③式恒成立；
（4）∵（

a

+

b

）•（

a

2-

a

•

b

+

b

2）=

a

3-

a

•

a

•

b

+

a•

b

2+

b

•

a

2-

b

•

a

•

b

+

b

3=

a

3+

b

3，∴④式恒成立；
故選C．

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的定義，數(shù)量積的運算法則及其應用，是基礎題．