Question

【題目】已知橢圓C的一個頂點為，焦點在x軸上，若右焦點到直線的距離為3．

Ⅰ求橢圓C的方程；

Ⅱ設橢圓C與直線相交于不同的兩點M，N，線段MN的中點為E．

當時，射線OE交直線于點為坐標原點，求的最小值；

當，且時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】Ⅰ；Ⅱ（i）；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）利用點到線的距離公式與求解即可.

（Ⅱ）聯立直線與橢圓的方程,求出關于兩點M,N的二次方程與韋達定理,繼而得出點的坐標,再化簡求得的解析式,利用的關系換元求最值即可.

當,且時,則,再表達出斜率的關系式化簡利用的關系求m的取值范圍即可.

Ⅰ,設橢圓的右焦點,由題意得：,解得：,

所以橢圓的方程：；

Ⅱ）（i）設,,將直線與橢圓聯立整理得：,

即,

且，,

所以MN的中點,

所以射線OE：,與直線的交點,所以,

所以,當且僅當,

所以時有最小值2．

（當,且時,則,所以,即,解得,

所以m取值范圍．