Question

2．如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且經過點M（2，1）．平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A，B兩個不同點
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓的方程，利用橢圓的離心率公式且經過點M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；   
（2）由直線方程代入橢圓方程，利用根的判別式，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，c²=a²-b²，
解得a²=8，b²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，
又K_OM=$\frac{1}{2}$，∴l(xiāng)的方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m，
由直線方程代入橢圓方程x²+2mx+2m²-4=0，
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
解得-2＜m＜2，且m≠0．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．