Question

已知向量、、滿足條件++=0，||=||=||=r,求證：△P₁P₂P₃是正三角形.

Answer 1

思路分析：建立坐標(biāo)系，設(shè)P₁、P₂、P₃三點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運(yùn)算可證.

證明：建立如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)正半軸Ox到、、所成的角分別為θ₁、θ₂、θ₃，不妨設(shè)0°≤θ₁＜θ₂＜θ₃＜360°，則向量=(rcosθ₁,rsinθ₁), =(rcosθ₂,rsinθ₂),=(rcosθ₃,rsinθ₃).

由++=0，得cosθ₁+cosθ₂+cosθ₃=0,即cosθ₁+cosθ₂=-cosθ₃.

sinθ₁+sinθ₂+sinθ₃=0,即sinθ₁+sinθ₂=-sinθ₃.

兩式平方相加得cos(θ₂-θ₁)=-，

同理，得cos(θ₃-θ₂)=-.

由0°≤θ₁＜θ₂＜θ₃＜360°知θ₂-θ₁=120°,θ₃-θ₂=120°,所以P₁、P₂、P₃是半徑為r的圓周上的三等分點(diǎn)，即△P₁P₂P₃為正三角形.