Question

對于項數為m的有窮數列{a_n}，記b_k=max{a₁，a₂，…a_k}，即b_k為a₁，a₂，…a_k中的最大值，并稱數列{b_n}是{a_n}的“控制數列”，如1，3，2，5，5的控制數列為1，3，3，5，5．
（1）若各項均為正整數的數列{a_n}的控制數列為2，3，4，5，5，則這樣的數列{a_n}有

 

個；
（2）設m=100，常數a∈（

1

2

，1），若a_n=an²-(-1)

n(n+1)

2

•n，{b_n}是{a_n}的控制數列，則（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=

 

．

Answer 1

考點：數列的應用,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件利用控制數列的概念列出滿足條件的數列{a_n}，由此能求出結果．
（2）對k=1，2，…25，a_4k-3=a（_4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，比較大小，得a_4k-2＞a_4k-1，從而a_4k＞a_4k-2，a_4k+1＞a_4k，從而b_4k-3=a_4k-3，b_4k-2=a_4k-2，b_4k-1=a_4k-2，b_4k=a_4k，由此能求出結果．

解答： 解：（1）由已知得滿足條件的數列{a_n}為：
{2，3，4，5，1}，
{2，3，4，5，2}，
{2，3，4，5，3}，
{2，3，4，5，4}，
{2，3，4，5，5}．
則這樣的數列{a_n}有5個．
（2）對k=1，2，…25，
a_4k-3=a（_4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），
a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，
比較大小，可得a_4k-2＞a_4k-1，
∵

1

2

＜a＜1，
∴a_4k-1-a_4k-2=（a-1）（8k-3）＜0，
即a_4k-2＞a_4k-1； a_4k-a_4k-2=2（2a-1）（4k-1）＞0，
即a_4k＞a_4k-2，
又a_4k+1＞a_4k，
從而b_4k-3=a_4k-3，b_4k-2=a_4k-2，b_4k-1=a_4k-2，b_4k=a_4k，
∴（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=（a₂-a₃）+（a₆-a₇）+…+（a₉₈-a₉₉）
=

25

k=1

（a_4k-2-a_4k-1）
=（1-a）

25

k=1

（8k-3）
=2525（1-a）．
故答案為：5；2525（1-a）．

點評：本題考查滿足條件的數列個數的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意放縮法的合理運用．