Question

已知數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為q（q＞1）的等比數(shù)列．
（1）若a₅=b₅，q=3，求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和；
（2）若存在正整數(shù)k（k≥2），使得a_k=b_k．試比較a_n與b_n的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，，
故，
所以a_n=1+20（n-1）=20n-19，
令，①
則，②
①-②得，==（29-20n）•3ⁿ-29，
所以．
（2）因為a_k=b_k，所以1+（k-1）d=q^k-1，即，
故，
又 ，
所以
=
=，
（�。┊�(dāng)1＜n＜k時，由q＞1知，

=＜0；
（ⅱ）當(dāng)n＞k時，由q＞1知，

=（q-1）²q^k-2（n-k）＞0，
綜上所述，當(dāng)1＜n＜k時，a_n＞b_n；當(dāng)n＞k時，a_n＜b_n；當(dāng)n=1時，a_n=b_n．
分析：（1）由q=3，b₁=1可求得b₅，從而得到a₅，由a₁=1及通項公式可求得a_n，利用錯位相減法即可求得數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和；
（2）由a_k=b_k，即1+（k-1）d=q^k-1，得，，作差b_n-a_n變形，然后分1＜n＜k時，當(dāng)n＞k時，n=1三種情況討論討論差的符號即可作出大小比較；
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合、數(shù)列求和，考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)，難度較大．