Question

已知曲線y=x³+x-2在點(diǎn)P₀處的切線l₁平行直線4x-y-1=0，且點(diǎn)P₀在第三象限，
（1）求P₀的坐標(biāo)；
（2）若直線l⊥l₁，且l也過切點(diǎn)P₀，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)橐阎�直線4x-y-1=0的斜率為4，根據(jù)切線與已知直線平行得到斜率相等都為4，所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，即為切點(diǎn)P₀的橫坐標(biāo)，代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在第3象限，進(jìn)而寫出滿足題意的切點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由直線l₁的斜率為4，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到直線l的斜率為-

1

4

，又根據(jù)（1）中求得的切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線l的方程即可．

解答：解：（1）由y=x³+x-2，得y′=3x²+1，
由已知得3x²+1=4，解之得x=±1．
當(dāng)x=1時，y=0；
當(dāng)x=-1時，y=-4．
又∵點(diǎn)P₀在第三象限，
∴切點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（-1，-4）；
（2）∵直線 l⊥l₁，l₁的斜率為4，
∴直線l的斜率為-

1

4

，
∵l過切點(diǎn)P₀，點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（-1，-4）
∴直線l的方程為y+4=-

1

4

（x+1）即x+4y+17=0．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系，會根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的方程，是一道中檔題．