正三棱柱ABC－A1B1C1底面邊長為a，在側(cè)棱BB1上截取BD＝，在側(cè)棱CC1上截取CE＝a，過A、D、E作棱柱的截面．

(Ⅰ)求截面面積；

(Ⅱ)求證：截面ADE⊥側(cè)面ACC1A1．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)∵側(cè)面是矩形，∴易求得AD＝DE＝，AE＝a．

　　取AE中點F，連結(jié)DF，則DF⊥AE．

　　;

　　(Ⅱ)證法1：取AC中點M，連結(jié)FM，BM．則FM∥CE且FM＝CE，又BD＝CE，∴FM∥BD．∴BMFD是平行四邊形．∴DF∥BM∵BM⊥AC，∴BM⊥面AA1C1C．

　∴DF⊥面AA1C1C，而DF面ADE．

　∴截面ADE⊥側(cè)面AA1C1C．

　　證法2：取CE中點G，連結(jié)DG，F(xiàn)G易證面DFG∥面ABC，而AA1⊥面ABC，

　∴AA1⊥面DFG．∴AA1⊥DF．又DF⊥AE，∴DF⊥面AA1C1C．∴面ADE⊥側(cè)面AA1C1C．

　　證法3：連結(jié)CF，∵AC＝CE，F(xiàn)為AE中點．∴CF⊥AE，∴∠DFC是二面角D－AE－C的平面角．易求得

　∵DF2＋CF2＋＝CD2，∴∠DFC＝90°，∴面ADE⊥面AA1C1C．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是
3
，D是AC的中點．
（1）求證：B1C∥平面A1BD；
（2）求三棱錐A1-ABD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為線段A1C1中點．
（Ⅰ）求證：BC1∥平面AB1D；
（Ⅱ）若AA1=
3
，二面角A-B1D-A1的大小為600，求線段 AB 的長度．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

【注意：本題的要求是，參照標①的寫法，在標號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當步驟，完成(Ⅰ)證明的全過程；并解答(Ⅱ)．】

如圖：在正三棱柱ABC－A1 B1 C1中，AB==a，E，F分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求證：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱錐A1－AEF的體積．

(Ⅰ)證明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長FE與CB延長線交于D，連結(jié)AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

【注意：本題的要求是，參照標①的寫法，在標號②、③、④、⑤的橫線上填寫適當步驟，完成(Ⅰ)證明的全過程；并解答(Ⅱ)．】

如圖：在正三棱柱ABC－A1 B1 C1中，AB==a，E，F分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求證：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱錐A1－AEF的體積．

(Ⅰ)證明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延長FE與CB延長線交于D，連結(jié)AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2009年高考數(shù)學文科(湖南卷) 題型：044

如圖3，在正三棱柱ABC－A1，B1，C1中，AB＝4，AA1＝，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥A1E

(Ⅰ)證明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；

(Ⅱ)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值

查看答案和解析>>

同步練習冊答案