如圖,P是拋物線C:上橫坐標(biāo)大于零的一點,直線l過點P并與拋物線C在點P處的切線垂直,直線l與拋物線C相交于另一點Q.
(1)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時,求直線l的方程;
(2)若,求過點P,Q,O的圓的方程.

【答案】分析:(Ⅰ)先求點P的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求過點P的切線的斜率,從而可得直線l的斜率,即可求出直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)P(x,y),求出直線l的方程為 ,利用,可得過點P,Q,O的圓的圓心為PQ的中點,將直線與拋物線聯(lián)立,即可求出PQ的中點的坐標(biāo)與圓的半徑,從而可得過點P,Q,O的圓的方程.
解答:解:(Ⅰ)把x=2代入,得y=2,∴點P的坐標(biāo)為(2,2).…(1分)
由 ,①得y'=x,
∴過點P的切線的斜率k=2,…(2分)
直線l的斜率k1==,…(3分)
∴直線l的方程為y-2=,即x+2y-6=0…(4分)
(Ⅱ)設(shè)P(x,y),則
∵過點P的切線斜率k=x,因為x≠0.
∴直線l的斜率k1==,
直線l的方程為 .②…(5分)
設(shè)Q(x1,y1),且M(x,y)為PQ的中點,
因為,所以過點P,Q,O的圓的圓心為M(x,y),半徑為r=|PM|,…(6分)
,…(8分)
所以xx1=0(舍去)或xx1=-4…(9分)
聯(lián)立①②消去y,得
由題意知x,x1為方程的兩根,
所以,又因為x>0,所以,y=1;
所以,y1=4…(11分)
∵M(jìn)是PQ的中點,∴…(12分)
…(13分)
所以過點P,Q,O的圓的方程為…(14分)
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線切線的方程,考查向量知識,考查圓的方程,解題的關(guān)鍵是直線與拋物線聯(lián)立,確定圓的圓心的坐標(biāo)與半徑.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P是拋物線C:y=
12
x2上一點,直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.若直線l與過點P的切線垂直,求線段PQ中點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P是拋物線C:y=
1
2
x2上一點,直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.
(Ⅰ)若直線l與過點P的切線垂直,求線段PQ中點M的軌跡方程;
(Ⅱ)若直線l不過原點且與x軸交于點S,與y軸交于點T,試求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍.

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精英家教網(wǎng)如圖,P是拋物線C:y=
12
x2上一點,直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直,l與拋物線C相交于另一點Q.
(Ⅰ)當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時,求直線l的方程;
(Ⅱ)當(dāng)點P在拋物線C上移動時,求線段PQ中點M的軌跡方程,并求點M到x軸的最短距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,P是拋物線C:y=
12
x2上橫坐標(biāo)大于零的一點,直線l過點P并與拋物線C在點P處的切線垂直,直線l與拋物線C相交于另一點Q.當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,P是拋物線C:x2=2y上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,直線l過點P且與拋物線交于另一點Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).
(1)若l經(jīng)過點F,求弦長|PQ|的最小值;
(2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0)與x軸交于點S,與y軸交于點T
①求證:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍.

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