Question

如圖，P是拋物線C：上橫坐標(biāo)大于零的一點，直線l過點P并與拋物線C在點P處的切線垂直，直線l與拋物線C相交于另一點Q．
（1）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，求直線l的方程；
（2）若，求過點P，Q，O的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求點P的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求過點P的切線的斜率，從而可得直線l的斜率，即可求出直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），求出直線l的方程為 ，利用，可得過點P，Q，O的圓的圓心為PQ的中點，將直線與拋物線聯(lián)立，即可求出PQ的中點的坐標(biāo)與圓的半徑，從而可得過點P，Q，O的圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴點P的坐標(biāo)為（2，2）．…（1分）
由 ，①得y'=x，
∴過點P的切線的斜率k_切=2，…（2分）
直線l的斜率k₁==，…（3分）
∴直線l的方程為y-2=，即x+2y-6=0…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），則．
∵過點P的切線斜率k_切=x，因為x≠0．
∴直線l的斜率k₁==，
直線l的方程為 ．②…（5分）
設(shè)Q（x₁，y₁），且M（x，y）為PQ的中點，
因為，所以過點P，Q，O的圓的圓心為M（x，y），半徑為r=|PM|，…（6分）
且，…（8分）
所以xx₁=0（舍去）或xx₁=-4…（9分）
聯(lián)立①②消去y，得
由題意知x，x₁為方程的兩根，
所以，又因為x＞0，所以，y=1；
所以，y₁=4…（11分）
∵M(jìn)是PQ的中點，∴…（12分）
∴…（13分）
所以過點P，Q，O的圓的方程為…（14分）
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線切線的方程，考查向量知識，考查圓的方程，解題的關(guān)鍵是直線與拋物線聯(lián)立，確定圓的圓心的坐標(biāo)與半徑．