Question

已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=

x

4x-a

．函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）•g（x），x∈[1，4]，求函數(shù)y=h（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，可得

a＞0 a 4 ≤1

，從而求得a的范圍．
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=h（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵g(x)=

x

4x-a

=

1 4 (4x-a)+ 1 4 a

4x-a

=

1

4

+

a

4(4x-a)

，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
所以，

a＞0 a 4 ≤1

，即0＜a≤4．
（2）∵h(x)=

x

•

x

4x-a

=

( x )3

4x-a

，h′(x)=

3 2 x 1 2 (4x-a)-4x 3 2

(4x-a)2

=

2 x (x- 3a 4 )

(4x-a)2

，
因?yàn)?＜a≤4，所以0＜

3a

4

≤3．
當(dāng)0＜

3a

4

≤1，即0＜a≤

4

3

時(shí)，h（x）在[1，4]上單調(diào)遞增，所以(h(x))min=h(1)=

1

4-a

；
當(dāng)1＜

3a

4

≤3，即

4

3

＜a≤4時(shí)，h（x）在[1，

3a

4

)上單調(diào)遞減，在[

3a

4

，4]單調(diào)遞增，所以(h(x))min=h(

3a

4

)=

3 3a

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．