Question

17．（文）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，EF=CE，AB=$\sqrt{2}$EF．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G．證明AF∥EG，然后證明AF∥平面BDE．
（Ⅱ）連接FG．證明CF⊥EG，BD⊥AC．CF⊥BD．然后證明CF⊥平面BDE．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G．因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG=$\frac{1}{2}$AG，

所以四邊形AGEF為平行四邊形
所以AF∥EG
因?yàn)镋G?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE
（Ⅱ）連接FG．因?yàn)镋F∥CG，EF=CG=CE，所以平行四邊形CEFG為菱形．
所以CF⊥EG．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BD⊥AC．
又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面ACEF．
所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，
所以CF⊥平面BDE．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直以及直線與平面平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．