分析 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,母線長為l,由圓錐的表面積公式和弧長公式列出方程組,求出r、l后由勾股定理求出高h,利用椎體的體積公式求出圓錐的體積.
解答 解:設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,母線長為l,高為h,
∵圓錐的全面積為12π,它的側(cè)面展開圖是一個圓心為120°的扇形,
∴$\left\{\begin{array}{l}{π{r}^{2}+πrl=12π}\\{\frac{2π}{3}•l=2πr}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{r=\sqrt{3}}\\{l=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
則h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{6}$,
∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π×3×2\sqrt{6}$=$2\sqrt{6}π$.
點評 本題考查圓錐的表面積公式、體積公式,以及弧長公式,考查方程思想,屬于基礎(chǔ)題.
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