Question

7．已知圓錐的全面積為12π，它的側(cè)面展開圖是一個圓心為120°的扇形，求圓錐的體積．

Answer 1

分析 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，由圓錐的表面積公式和弧長公式列出方程組，求出r、l后由勾股定理求出高h，利用椎體的體積公式求出圓錐的體積．

解答 解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，高為h，
∵圓錐的全面積為12π，它的側(cè)面展開圖是一個圓心為120°的扇形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{π{r}^{2}+πrl=12π}\\{\frac{2π}{3}•l=2πr}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{r=\sqrt{3}}\\{l=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π×3×2\sqrt{6}$=$2\sqrt{6}π$．

點評 本題考查圓錐的表面積公式、體積公式，以及弧長公式，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題．