Question

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三點(diǎn)處，且AB=AC=13,BC=10.今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處.

(1)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

(2)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

(1)解：設(shè)P(0,y)，P到三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y).

f(y)=2(25+y²)+(12-y)²=3(y-4)²+146.

    當(dāng)y=4時(shí)，f(y)_min=146.∴P為(0,4).

(2)解法一：設(shè)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為z,

|PA|=|12-y|,|PB|=|PC|=,

    則z=max{|PA|,|PB|}.

    作出z=|12-y|,z=的圖象.

    兩圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)為.

    當(dāng)y≤時(shí)，z=|y-12|=12-y;

    當(dāng)y＞時(shí)，z=.

∴y=時(shí)，z最小.

解法二：z=

    即z=

    當(dāng)y≤時(shí),z為減函數(shù),

∴y=時(shí)，z≥12-=;

    當(dāng)y＞時(shí)，z為增函數(shù).z＞.

∴y=時(shí)，z_min=.

∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,).