Question

9．已知函數f（x）=-$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}+1}$，x∈R．
（1）若f（a）=-$\frac{9}{8}$，求a的值；
（2）證明對于任意非零實數m，f（m）+f（$\frac{1}{m}$）的值都與m無關；
（3）求f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{1}{9}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…+f（10）的值．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）的解析式以及f（a）=-$\frac{{a}^{3}}{{a}^{3}+1}$=-$\frac{9}{8}$，求得a的值．
（2）對于任意非零實數m，計算f（m）+f（$\frac{1}{m}$）=1，可得結論．
（3）要求的式子即f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（10）+f（$\frac{1}{10}$）]，再利用（2）的結論，求得結果．

解答 解：（1）函數f（x）=-$\frac{{x}^{3}}{{x}^{3}+1}$，x∈R，∵f（a）=-$\frac{{a}^{3}}{{a}^{3}+1}$=-$\frac{9}{8}$，求得a=$\root{3}{-9}$=-$\root{3}{9}$．
（2）證明：對于任意非零實數m，
f（m）+f（$\frac{1}{m}$）=-$\frac{{m}^{3}}{{m}^{3}+1}$-$\frac{\frac{1}{{m}^{3}}}{\frac{1}{{m}^{3}}+1}$=-$\frac{{m}^{3}}{{m}^{3}+1}$-$\frac{1}{1{+m}^{3}}$=1，
故（m）+f（$\frac{1}{m}$）的值與m無關．
（3）由（2）可得f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{1}{9}$）+…+f（$\frac{1}{2}$）+f（1）+f（2）+…+f（10）
=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（10）+f（$\frac{1}{10}$）]=-$\frac{1}{2}$+9×1=$\frac{17}{2}$．

點評 本題主要考查函數的單調性和奇偶性的應用，求函數的值，屬于中檔題．