Question

【題目】把半橢圓與圓弧合成的曲線稱作“曲圓”，其中F為半橢圓的右焦點(diǎn)，A是圓弧與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交“曲圓”于P，Q兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)取值范圍為______

Answer 1

【答案】

【解析】

首先判斷直線PQ的斜率不能為0，設(shè)直線PQ的傾斜角為，，求得F，A的坐標(biāo)，以及圓的圓心和半徑，求得直線PQ經(jīng)過(guò)圓與y軸的交點(diǎn)B，C的傾斜角，分別討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，P，Q的位置，結(jié)合橢圓的定義和圓的定義和等腰三角形的性質(zhì)，可得的周長(zhǎng)的范圍．

解：顯然直線PQ的斜率不能為0，設(shè)直線PQ的傾斜角為，，

由半橢圓方程為可得，

圓弧方程為：的圓心為，半徑為2，

且恰為橢圓的左焦點(diǎn)，，

與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，，

當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)B時(shí)，，即有；

當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)C時(shí)，，即有．

當(dāng)時(shí)，Q、P分別在圓�。�、

半橢圓上，

為腰為2的等腰三角形，則，

的周長(zhǎng)；

當(dāng)時(shí)，P、Q分別在圓弧：、

半橢圓上，

為腰為2的等腰三角形，且，

的周長(zhǎng)；

當(dāng)時(shí)，P、Q在半橢圓上，

的周長(zhǎng)．

綜上可得，的周長(zhǎng)取值范圍為．

故答案為：．