Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）求使f（x）＞0的x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，只要真數(shù)大于0即可，轉(zhuǎn)化為解分式不等式．
（2）利用奇偶性的定義，看f（-x）和f（x）的關(guān)系，注意到

1+x

1-x

和

1-x

1+x

互為倒數(shù)，其對(duì)數(shù)值互為相反數(shù)；
也可計(jì)算f（-x）+f（x）=0得到．
（3）有對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0兩種境況討論．

解答：解：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知

1+x

1-x

＞0．如果

1+x＞0 1-x＞0

，則-1＜x＜1；
如果

1+x＜0 1-x＜0

，則不等式組無(wú)解．故f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）
（2）∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）（�。�對(duì)a＞1，log_a

1+x

1-x

＞0等價(jià)于

1+x

1-x

＞1，①
而從（1）知1-x＞0，故①等價(jià)于1+x＞1-x，又等價(jià)于x＞0．故對(duì)a＞1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)有f（x）＞0．（ⅱ）對(duì)0＜a＜1，log_a

1+x

1-x

＞0等價(jià)于
0＜

1+x

1-x

＜1．②
而從（1）知1-x＞0，故②等價(jià)于-1＜x＜0．故對(duì)0＜a＜1，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)有f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域、奇偶性、單調(diào)性等知識(shí)，難度一般．