Question

已知函數(shù)f（x）=（x³+2x²+5x+t）e^-x，t∈R，x∈R．
（Ⅰ）當t=5時，求函數(shù)y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若存在實數(shù)t∈[0，1]，使對任意的x∈[-4，m]，不等式 f（x）≤x恒成立，
求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導數(shù)f′（x），在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得到其單調區(qū)間；
（Ⅱ）不等式f（x）≤x可變?yōu)閠≤xe^x-x³-2x²-5x，存在t∈[0，1]，使得對任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，等價于0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x∈[-4，m]恒成立，先討論①m≤0時的情況，此時不等式可化簡為e^x-x²-2x-5≤0，令g（x）=e^x-x²-2x-5，由于m為整數(shù)，利用導數(shù)驗證m=-1，m=0時恒成立情況，再討論②m=1時情況，綜上可得最大整數(shù)m值．

解答： 解：（Ⅰ）當t=5時，f（x）=（x³+2x²+5x+5）e^-x，f'（x）=（3x²+4x+5）e^-x-（x³+2x²+5x+5）e^-x=-（x³-x²+x）e^-x=-x（x²-x+1）e^-x．
令f'（x）＞0，因為x²-x+1＞0，得x＜0；令f'（x）＞0，得x＞0；
故函數(shù)y=f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，0），單調減區(qū)間為（0，+∞）．
（Ⅱ）不等式 f（x）≤x，即（x³+2x²+5x+t）e^-x≤x，即t≤xe^x-x³-2x²-5x．
轉化為存在實數(shù)t∈[0，1]，使對任意的x∈[-4，m]，不等式t≤xe^x-x³-2x²-5x恒成立．
即不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x∈[-4，m]恒成立．
當m≤0時，則有不等式e^x-x²-2x-5≤0對于x∈[-4，m]恒成立．
設g（x）=e^x-x²-2x-5，則g'（x）=e^x-2x-2，又m為整數(shù)，
則當m=-時，則有-4≤x≤-1，此時g'（x）=e^x-2x-2＞0，
則g（x）在[-4，-1]上為增函數(shù)，∴g（x）≤g（-1）＜0恒成立．
m=0時，當-1＜x≤0時，因為[g′（x）]′=e^x-2＜0，則g′（x）在（-1，0]上為減函數(shù)，
g'（-1）=e^-1＞0，g'（0）=-1＜0故存在唯一x₀∈（-1，0]，使得g'（x₀）=0，
即ex0=2x0+2．
則當-4≤x＜x₀，有g'（x）＞0；當x₀＜x≤0，有g'（x）＜0；
故函數(shù)g（x）在區(qū)間[-4，x₀]上為增函數(shù)，在區(qū)間[x₀，0]上為減函數(shù)，
則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-4，0]上的最大值為g(x0)=ex0-

x

2 0

-2x0-5，
又ex0=2x0+2，則g(x0)=(2x0+2)-

x

2 0

-2x0-5=-

x

2 0

-3＜0．
故不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x∈[-4，0]恒成立．
而當m=1時，不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x對于x=1不成立．
故使命題成立的整數(shù)m的最大值為0．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及恒成立問題，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力，解決恒成立問題常轉化為函數(shù)最值問題處理，屬于難題．