【題目】一士兵要在一個(gè)半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)檢查是否埋有地雷，他所用的檢查儀器的有效作用范圍的半徑為．求該士兵從該圓邊界上一點(diǎn)出發(fā)，至少需走多少米才能將區(qū)域檢測(cè)完，且回到出發(fā)點(diǎn)?

【答案】

【解析】

首先，求士兵從出發(fā)，將圓的邊界上的所有點(diǎn)檢測(cè)完回到的最短路徑．

下面用反證法證明：

（1）上任意兩點(diǎn)連線段在所圍區(qū)域內(nèi)（含邊界），即是凸的；

（2）與圓內(nèi)部無交點(diǎn)．

（1）否則，設(shè)、，且線段在所圍區(qū)域外（如圖）．

用線段代替中、間的曲線，得到另一條封閉曲線．

則曲線在所圍區(qū)域內(nèi)（含邊界）．

對(duì)圓邊界上任一點(diǎn)，設(shè)士兵在上的點(diǎn)處檢測(cè)，則．

取線段與的交點(diǎn)為，則．

故士兵沿也可以將圓的邊界上所有點(diǎn)檢測(cè)．

但的長度小于的長度，矛盾．

（2）否則，設(shè)、，中、之間的曲線在圓內(nèi)部（如圖）．

過圓心作交圓于點(diǎn)，其中，與曲線在直線同側(cè)．

設(shè)線段與圓交于點(diǎn)．

由的凸性知，曲線與的其余部分在直線兩側(cè)．

則，

即士兵沿無法檢測(cè)點(diǎn)，矛盾．

由（1），（2）知是含點(diǎn)且將圓包含在內(nèi)部的封閉曲線．

則的長度的最小值為（將想成套在圓上的繩子，當(dāng)從點(diǎn)拉緊繩子時(shí)，得到繩子的最短長度為）．

易證當(dāng)時(shí)，士兵可沿將圓內(nèi)所有點(diǎn)檢測(cè)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)在線段上，且，為線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

若對(duì)任意的為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求在上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知從有限個(gè)平面向量構(gòu)成的集合中任取三個(gè)元素，其中總存在兩個(gè)元素，使得.試求中元素個(gè)數(shù)的最大值.

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【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為線段的中點(diǎn)，則使△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某校5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦拢?/span>

學(xué)生的編號(hào)

1

2

3

4

5

數(shù)學(xué)成績

80

75

70

65

60

物理成績

70

66

68

64

62

（1）通過大量事實(shí)證明發(fā)現(xiàn)，一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績是具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系的，在上述表格中，用表示數(shù)學(xué)成績，用表示物理成績，求關(guān)于的回歸方程．

（2）利用殘差分析回歸方程的擬合效果，若殘差和在范圍內(nèi)，則稱回歸方程為“優(yōu)擬方程”，問：該回歸方程是否為“優(yōu)擬方程”．

（3）現(xiàn)從5名同學(xué)中任選兩人參加訪談活動(dòng)，求1號(hào)同學(xué)沒被選中的概率.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求與的直角坐標(biāo)方程；

（2）若與的交于點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，求的面積.

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