Question

已知等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，求使(7-2n)Tn＜k

n•2n+1

(n+1)

恒成立，求實數k范圍．

Answer 1

分析：（I）利用已知關系式，求出數列的公比，然后求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）通過b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求出通項公式b_n，然后求出倒數，通過裂項法直接求解Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，利用(7-2n)Tn＜k

n•2n+1

(n+1)

恒成立，求出數列的最大項，然后求出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，由a₃²=9a₂a₆得a₃²=9a₄²所以q²=

1

9

．
由條件可知q＞0，故q=

1

3

．                  （3分）
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．（6分）
故數列{a_n}的通項式為a_n=

1

3n

．                 （7分）
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-（1+2+3+…+n）
=-

n(n+1)

2

           （9分）
故

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2(

1

n

-

1

n+1

)       （10分）
Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=-2[(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

]=-

2n

n+1

．（11分）
所以數列{

1

bn

}的前n項和為-

2n

n+1

．化簡得k≥

2n-7

2n

對任意n∈N^*恒成立
設Cn=

2n-7

2n

，則Cn+1-Cn=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n+1

．
當n≥5，C_n+1≤C_n，{C_n}為單調遞減數列，
當1≤n＜5，C_n+1＞C_n，{C_n}為單調遞增數列

1

16

=C4＜C5=

3

32

，所以，n=5時，C_n取得最大值

3

32

，
所以，要使k≥

2n-7

2n

對任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

…14分

點評：本題考查數列通項公式的求法，裂項法數列求和，恒成立問題的求解，考查數列與不等式的綜合問題，考查邏輯推理能力、計算能力．